II. VEKTOR

1. SKALAR dan VEKTOR

Besaran-besaran Fisika ditinjau dari pengaruh arah terhadap besaran tersebut dapat dikelompokkan menjadi :
a. Skalar : besaran yang cukup dinyatakan besarnya saja (tidak ter-gantung pada arah). Misalnya : massa, waktu, energi dsb.
b. Vektor : besaran yang tergantung pada arah. Misalnya : kecepatan, gaya, momentum dsb.

Tugas 1.
Sebutkan besaran-besaran Fisika yang termasuk skalar dan yang termasuk vektor !

2. NOTASI VEKTOR.

2.1. Notasi Geometris.
2.1.a. Penamaan sebuah vektor :
dalam cetakan : dengan huruf tebal : a, B, d.
dalam tulisan tangan : dengan tanda  atau  diatas huruf : a , B, d.

2.1.b.Penggambaran vektor :
vektor digambar dengan anak panah :
B
a d

panjang anak panah : besar vektor.
arah anak panah : arah vektor

2.2. Notasi Analitis
Notasi analitis digunakan untuk menganalisa vektor tanpa menggunakan gambar. Sebuah vektor a dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya sebagai berikut :



z
y
k

ay I j y
a
x
ax x
ay : besar komponen vektor a dalam arah sumbu y
ax : besar komponen vektor a dalam arah sumbu x

Dalam koordinat kartesian :
vektor arah /vektor satuan : adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k. yang masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z.
Sehingga vektor a dapat ditulis :

a = ax i + ay j

dan besar vektor a adalah :

a =  ax 2 + ay 2


3. OPERASI VEKTOR

3.1. Operasi penjumlahan

A
B

A + B = ?
Tanda + dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan.
Jadi A + B mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B.
B
A
A+B

Dalam operasi penjumlahan berlaku :
a. Hukum komutatif
B
A A + B = B + A
A
B

b. Hukum Asosiatif

B (A + B) + C = A + (B + C)

A
C


Opersai pengurangan dapat dijabarkan dari opersai penjumlahan dengan menyatakan negatif dari suatu vektor.

A -A
B

B - A = B + (-A)

B

B-A -A

Vektor secara analitis dapat dinyatakan dalam bentuk :
A = Ax i + Ay j + Az k dan
B = Bx i + By j + Bz k
maka opersasi penjumlahan/pengurangan dapat dilakukan dengan cara menjumlah/mengurangi komponen-komponennya yang searah.

A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k
A - B = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k

3.2. Opersai Perkalian
3.2.1. Perkalian vektor dengan skalar
Contoh perkalian besaran vektor dengan skalar dalam fisika : F = ma, p = mv, dsb dimana m : skalar dan a,v : vektor.
Bila misal A dan B adalah vektor dan k adalah skalar maka,

B = k A

Besar vektor B adalah k kali besar vektor A sedangkan arah vektor B sama dengan arah vektor A bila k positip dan berla-wanan bila k negatip. Contoh : F = qE, q adalah muatan listrik dapat bermuatan positip atau negatip sehingga arah F tergantung tanda muatan tersebut.

3.2.2. Perkalian vektor dengan vektor.
a. Perkalian dot (titik)
Contoh dalam Fisika perkalian dot ini adalah : W = F . s,
P = F . v,  = B . A.
Hasil dari perkalian ini berupa skalar.

A

B

Bila C adalah skalar maka

C = A . B = A B cos 

atau dalam notasi vektor

C = A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

Bagaimana sifat komutatif dan distributuf dari perkalian dot

b. Perkalian cross (silang)
Contoh dalam Fisika perkalian silang adalah :  = r x F,
F = q v x B, dsb
Hasil dari perkalian ini berupa vektor.
Bila C merupakan besar vektor C, maka

C = A x B = A B sin 

atau dalam notasi vektor diperoleh :

A x B = (AyBz - Az By) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k

Karena hasil yang diperoleh berupa vektor maka arah dari vektor tersebut dapat dicari dengan arah maju sekrup yang diputar dari vektor pertama ke vektor kedua.

k

j
i

i x j = k j x j = 1 . 1 cos 90 = 0
k x j = - I dsb